同一个金色向量 V,在两根基矢 e₁、e₂ 下有两套分量,数值上不一样。逆变 Vⁱ(平行投影)回答"沿 e_i 走多远才到 V";协变 V_i(内积 V·e_i)回答"V 在 e_i 方向上的分量大小,还要乘 |e_i|"。

基矢正交归一时(选"正交归一"预设),两个数恰好相等——所以中学/普物从不区分。一旦基矢非正交(拖动 e₂)或非单位长(拉长 e₁),两套分量分道扬镳:逆变与基矢"反着变"(基矢拉长两倍,逆变分量减半);协变与基矢"同步变"(基矢拉长两倍,协变分量翻倍)。这就是 contra- 与 co- 的字面意思。

联系两套分量的桥梁是 度规张量 g_ij = e_i·e_j:V_i = g_ij V^j。打开 "对偶基" 看紫色对偶基 eⁱ——它满足 eⁱ·e_j = δⁱ_j,正是协变分量的"自然基底"(V = V_i eⁱ)。逆变在主基中、协变在对偶基中,各得其所。

点积 V·V 是不变量,无论用哪套分量计算都得到同一个数:V·V = VⁱV_i = g_ijVⁱV^j。这就是"标量场不依赖坐标系"在最简形式下的体现——也是张量分析全部建立在其上的根基。